Forschung > DFG-Projekt DYNAMIS > DYNAMIS-Beschreibung DYNAMIS-Beschreibung 2 Beschreibung des Programms DYNAMIS 2.1 Überblick über das Programm 2.2 Beschreibung einzelner Prozeduren 2.3 Aufbau einer Steuerdatei 2.4 Datenausgabe 2.5 Veränderbarkeit, Verfügbarkeit 3 Anwendungsbeispiele 3.1 Beispiel ÖKOSYSTEM 3.2 Beispiel AQUARIUM 3.3 Beispiel POLITIK 4 Rekonstruktion anderer Systeme 4.1 MONDLANDUNG 4.2 HAMURABI, Herrscher von Summaria 4.3 TRANSPORT 4.4 Das Peter-Prinzip Exkurs: Darstellbarkeit zeitdiskreter Markoff-Prozesse durch AR-Prozesse Anmerkung. Der nachfolgende Text stammt aus Funke, J., Fahnenbruck, G. & Müller, H. (1986). DYNAMIS. Ein Computerprogramm zur Simulation dynamischer Systeme. Berichte aus dem Psychologischen Institut der Universität 12, Heft 3 (=Bericht 2 aus dem DFG-Projekt DYNAMIS). 2 Beschreibung des Programms DYNAMIS Die Beschreibung des Programms DYNAMIS bildet den Gegenstand dieses Kapitels. Zunächst wird ein Überblick über die Leistungen sowie wichtige technische Einzelheiten des Programms gegeben. Anschließend erfolgt eine kurze Kommentierung der verwendeten Prozeduren und Funktionen, soweit sie für den Anwender von Bedeutung sind. Weiterhin wird angegeben, wie die zum Ablauf des Programms notwendigen Steuerdateien aufgebaut sein müssen. Schließlich geht es um die Veränderbarkeit bestimmter Voreinstellungen im Fall spezifischer Anwenderbedürfnisse. Grundlage des vorliegenden Programms sind multivariate autoregressive Prozesse. Auf eine Beschreibung wird an dieser Stelle verzichtet, da diese bereits mehrfach vorliegt (vgl. z.B.: FUNKE & STEYER 1985; FUNKE 1986, 1986a). 2.1 Überblick über das Programm DYNAMIS (Version 2.0 vom 25.07.1986) ist ein in Turbo-Pascal 3.01 geschriebenes Simulationsprogramm für multivariate autoregressive Prozesse beliebiger Ordnung. Da die Informationen über das zu simulierende System aus externen Steuerdateien stammen, entfällt die Notwendigkeit, für jede neue Simulation ein neues Programm zu schreiben. Dies bedeutet: (1) Es können Systeme mit beliebigen Werten für die Anzahl exogener und endogener Variablen simuliert werden, wobei allerdings wegen der begrenzten Zeilenzahl des Monitors nur bei Systemen mit weniger als 16 Variablen die Bildschirmanzeige erfolgt. (2) Es können Systeme mit beliebigen Graden von Zeitverzögerung konstruiert werden. (3) Der Anwender kann das Ausmaß an "Rauschen" (den Fehler) für jede einzelne Variable spezifizieren. (4) Der Anwender kann Bereichsangaben für zulässige Werte von exogenen Variablen machen und damit die Reversibilität getroffener Entscheidungen beeinflussen. (5) Die Etiketten für die Variablenbezeichnungen sind beliebig wählbar. (6) Die Anzahl der simultan verfügbaren Zeittakte auf dem Monitor kann zwischen einem und sechs Takten schwanken und vom Anwender nach theoretischen Überlegungen festgelegt werden. (7) Die Anzahl von simulierten Zeittakten pro Durchgang sowie die Anzahl der Durchgänge selbst sind variabel. Neben der Aufzählung dessen, was DYNAMIS in der vorliegenden Form leistet, sollen einige Aspekte genannt sein, die nicht realisiert sind: (1) Die Beteiligung "unsichtbarer" Variablen (vgl. DÖRNER et al. 1983, p.52f) ist wegen der vollständigen Systemtransparenz nicht vorgesehen. Hierfür wäre ein LISREL-analoges Modell zu entwerfen, in dem die "unsichtbaren" Variablen als latente Systemelemente konzipiert werden, die gemäß spezifizierten Modellen in bezug zu Indikatorvariablen stehen. (2) Die Modellierung von nicht-linearen dynamischen Modellen ist nicht möglich. Jedoch lassen sich im Rahmen eines linearen Modells wesentlich "dynamischere" Modelle konzipieren als man zunächst erwarten würde: So sind zum Beispiel exponentielle Wachstums- oder Schrumpfungsprozesse als lineare Modelle darstellbar, auch die häufig strapazierten wechselseitigen Abhängigkeiten ("Vernetztheit") lassen sich selbstverständlich linear modellieren. Aus diesen Bemerkungen dürfte der Leistungsumfang des Programms DYNAMIS in groben Zügen hervorgegangen sein. Da das Programm modular konzipiert wurde, können gewünschte Zusatzleistungen bei speziellem Bedarf einfach hinzuprogrammiert werden. 2.2 Beschreibung einzelner Prozeduren Das Programm DYNAMIS besteht aus den Prozeduren NULLSETZEN, START, INSTRUKTION, SIMULATION und DATENSPEICHERN sowie einigen weiteren, hiervon aufgerufenen Prozeduren und der Funktion TIME. NULLSETZEN sorgt für eine adäquate Vorbesetzung der beteiligten Felder. START schreibt das Titelbild, erfragt den Namen der Steuerdatei und sorgt mit DATENEINLESEN für die Bereitstellung der Systemparameter, die man auf Wunsch mit der Prozedur INFO auf den Monitor holen kann. INSTRUKTION verweist derzeit nur darauf, eine separat gegebene Instruktion zu lesen. Den eigentlichen "Kern" des Programms bildet die Prozedur SIMULATION. In ihr finden sämtliche Berechnungen statt, die mit den Prozeduren PRINTOUT bzw. GRAFOUT auf den Bildschirm gebracht werden (wegen des derzeitigen Fehlens einer Standard-Grafik ist die zuletzt erwähnte Prozedur noch nicht implementiert). Je nach den in der Steuerdatei gemachten Angaben wird hier auch die Prozedur NOISE aufgerufen, die in einem Vektor Z einen normalverteilten Fehler mit Mittelwert Null und einer Streuung gemäß angegebenem Fehlervektor erzeugt, der zum aktuellen Wert der Variablen hinzuaddiert wird. PRINTOUT zeigt zunächst die Werte der Zustandsvariablen an und erwartet dann der Reihe nach für jede Maßnahmevariable eine Eingabe. Wünscht der Akteur die Übernahme des vom System vorgeschlagenen Werts, genügt der Druck der Return-Taste. In allen anderen Fällen ist der gewünschte Wert vollständig einzutippen, eine nur teilweise Übernahme von schon in der Eingabezeile befindlichen Ziffern ist nicht möglich. Sie werden vom Programm automatisch gelöscht. Die Prozedur SIMULATION ruft auf Wunsch auch eine Prozedur VORHERSAGE auf, die die Versuchsperson dazu auffordert auf dem Bildschirm eine Vorhersage darüber zu machen, wie sich ihre Eingaben im nächsten Zeittakt auswirken werden, bevor sie die tatsächlichen Wirkungen zu sehen bekommt. Neben exakten numerischen Prognosen kann der Pb auch Schätzungen auf einer 7-Stufigen Ordinalskala angeben oder mit "?" bekunden, daß er keinerlei Vorhersage machen kann. Nach VORHERSAGE wird mit der Prozedur ERGEBNIS der tatsächliche Systemzustand am Bildschirm dargestellt, wobei der Pb zur Gedächtnisentlastung optional seine letzte Prognose wiederholt mit dem Systemzustand vergleichen kann. DATENSPEICHERN sorgt schließlich nach Beendigung aller vorgesehenen Durchgänge für die Registrierung der angefallenen Daten auf dem Standardlaufwerk. Der Name des Datenfiles beginnt mit den ersten drei Buchstaben der Titelzeile, die sich in der Steuerdatei befindet, und wird durch die ersten fünf Buchstaben des angegebenen Pb-Codes ergänzt (wird kein Pbn-Code verwendet, ersetzt DYNAMIS diese Angabe durch den String "dummy"). Das Datenfile erhält automatisch die Extension DAT. Bereits vorhandene Datensätze gleichen Namens werden kommentarlos überschrieben. Näheres über die Art und das Format der registrierten Daten enthält Kap. 2.4. 2.3 Aufbau einer Steuerdatei Jede Steuerdatei muß folgende Informationen enthalten: (1) Eine Titelzeile mit beliebigem Text, der nicht länger als 30 Zeichen sein sollte (hierbei dürfen unter den ersten drei Zeichen keine Sonderzeichen auftreten, da sonst die Eröffnung eines Datenfiles Schwierigkeiten bereitet). (2) Eine Zeile mit den Angaben über: NX = Anzahl der exogenen Variablen (MAXNX: 8), NY = Anzahl der endogenen Variablen (MAXNY: 8), GR = Grad des autoregressiven Prozesses (MAXGR: 2), MX = Maximale Zahl simultan präsentierter Zeittakte (MAXMX: 7), ZT = Anzahl der Zeittakte eines Durchganges (MAXZT: 51), DG = Anzahl der Durchgänge (MAXDG: 5), FB = 0 bzw. 1 je nachdem, ob der Prozeß "verrauscht" werden soll oder nicht. (3) Eine Zeile mit NX + NY Startwerten (s.o.). (4) Eine Zeile mit NX + NY Fehlerwerten (s.o.). (5) Eine Zeile mit NX + NY Zielwerten (s.o.). (6) Eine NX * NX-Matrix mit den Parametern der Teilmatrix Axx. (7) Eine NY * NX-Matrix mit den Parametern der Teilmatrix Ayx. (8) Eine NY * NY-Matrix mit den Parametern der Teilmatrix Ayy. Die Matrizen in (6) bis (8) sind jeweils von "oben" nach "links" zu lesen. Oben steht der Zeittakt t und links der Zeittakt t+1. Der jeweilige Wert für den Zeittakt t+1 ergibt sich durch Multiplikation des Wertes zum Zeitpunkt t mit dem Wert in der Matrix. (9) Bei ARk-Prozessen mit k>1: die Angaben (6) bis (8) sind für jede Stufe zu wiederholen. Durch Multiplikation des Wertes zum Zeitpunkt t+1-k mit dem Wert der Matrix ergibt sich ein Ergebnis, das zur Summe der Produkte des ARk-1-Prozesses hinzuzuaddieren ist. (10) Eine Zeile mit NX + NY Minimalwerten (s.o.). (11) Eine Zeile mit NX + NY Maximalwerten (s.o.). (12) Eine Zeile mit NX + NY Werten für additive Konstanten (s.o.). (13) NX + NY Zeilen mit Etiketten für die Variablen. An einem Beispiel sei der Aufbau der Steuerdatei nochmals verdeutlicht. Zur Demonstration wird die einfachste Variante des Ökosystems (vgl. FUNKE 1985b) verwendet, deren Steuerdaten Abb. 2-1 enthält. ------------------------------ÖKOSYSTEM 1985 (1.1) 3 3 1 6 7 5 0 (nx ny gr mx zt dg fb) 0 0 0 200 10 5000 Startwerte 0 0 0 0 0 0 Fehlerwerte 0 0 0 200 0 10000 Zielwerte 1 0 0 (Axx Grad 1) 0 1 0 0 0 1 0 1 0 (Ayx Grad 1) -0.1 0 0 0 0 10 0.9 0 0 (Ayy Grad 1) 0 1 0 0 0 1 -999999 -999999 -999999 -999999 -999999 -999999 min 999999 999999 999999 999999 999999 999999 max 0 0 0 0 0 0 add Gift ................. Schädlingsfresser .... Dünger ............... Käfer ................ Wasserverschmutzung .. Blätterzahl .......... ----------------------------------------------------- Abb. 2.1. Steuerdaten zum ÖKOSYSTEM (Variante ohne Zeitverzögerung, einfache Schwierigkeit; weitere Erläuterungen im Text). Nach der Titelzeile folgt die Zeile mit den allgemeinen Steueranweisungen: drei x- und drei y-Variablen, autoregressiver Prozeß erster Ordnung, sechs Zeittakte maximal simultan auf dem Monitor, sieben Zeittakte pro Durchgang, fünf Durchgänge, keine Fehlerwerte berücksichtigen. Die in Klammern angegebenen Buchstabenkürzel nx, ny usw. entsprechen den Benennungen der Variablen und dienen lediglich der Gedächtnisentlastung des Benutzers. Diese zusätzlichen Angaben finden keine Berücksichtigung durch das Programm. Sämtliche Zahlenangaben sind durch mindestens ein Leerzeichen voneinander zu trennen, innerhalb einer Zahlenangabe dürfen keine Leerzeichen verwendet werden. Die nächsten drei Zeilen enthalten Start-, Fehler- und Zielwerte. Es folgen die Axx-, Ayx- und Ayy-Teilmatrizen des AR1-Prozesses. Hätte man in der zweiten Zeile den Grad des Prozesses mit zwei statt eins angegeben, wären danach die Axx-, Ayx- und Ayy-Teilmatrizen für den zweiten Grad anzugeben. Schließlich folgen drei Zeilen für die jeweiligen Minimal- und Maximalwerte der insgesamt sechs beteiligten Variablen sowie die Angabe additiver Konstanten, um die der Nullpunkt für den Pb verschoben werden soll. Am Schluß stehen sechs Zeilen mit den Etiketten für die sechs Variablen. Die Punkte dienen dazu, unterschiedliche Wortlängen auszugleichen und so eine bündige Präsentation der Variablennamen zu erreichen. Damit ist die Steuerdatei vollständig eingerichtet und eine geplante Simulation kann beginnen. Hat man bei der Erstellung der Steuerdatei Fehler gemacht, kann es zu Abbrüchen kommen. Wurden etwa die Maximalwerte überschritten, macht das Programm hierauf aufmerksam. Andere Fehler -z.B. zu wenig Parameter- führen zu unkontrolliertem Abstürzen des Programms. In solchen Situationen ist vom Anwender zu überprüfen, ob die Informationen zu den 13 genannten Bereichen richtig und vollständig gegeben wurden, und entsprechend die Steuerdatei zu verändern. 2.4 Datenausgabe Pro Pb wird auf dem Standard-Laufwerk ein Datenfile angelegt unter einem Dateinamen, dessen ersten drei Buchstaben den ersten drei Zeichen der Titelzeile der Steuerdatei entsprechen, ergänzt um maximal fünf Buchstaben/Zeichen aus der wahlfreien Codeangabe (Voreinstellung "DUMMY") und die Extension DAT. Wie bereits in Kap. 2.3 dargestellt, müssen die ersten drei Zeichen der Titelzeile frei von Sonderzeichen sein. Der IBM-PC verträgt hier noch nicht einmal Umlaute. Der ordnungsgemäße Beginn der Datenspeicherung wie auch das Ende dieses Vorgangs werden auf dem Monitor angezeigt. Das Datenfile enthält neben einer Titelzeile, aus der Pbn-Code, Versuchsbedingung, Programmversion und verwendete Steuerdatei abzulesen sind, für jeden Durchgang einen separaten Datenblock. Dieser wird mit einer entsprechenden Zeile "Durchgang x" eingeleitet, gefolgt von der Bearbeitungszeit (in sek.) für diesen Durchgang. Danach folgen NN=NX+NY Zeilen mit den Werten für die entsprechenden Variablen über alle Zeittakte, falls die Vorhersagevariante gewählt wurde NY Zeilen mit den jeweiligen Prognosen der endogenen Variablen, sowie eine Zeile mit Zeitangaben für die Bearbeitungszeit pro Takt (in sek.). Abb. 2-2 zeigt exemplarisch einen Datensatz, der unter Verwendung der in Abb. 2-1 gezeigten Steuerdatei von den Autoren erzeugt wurde, wobei vom Pb keine Vorhersagen verlangt wurden. ---------------------------------------------------------------- dummy 1 *** DYNAMIS *** PASCAL-Version 2.0 vom 25.07.1986 OEKO11.PRM durchgang 1 43 var 1: 0 0 0 0 0 0 0 var 2: 0 0 10 20 20 20 0 var 3: 0 0 0 0 10 -10 0 var 4: 180 162 156 160 164 168 171 var 5: 10 10 10 10 10 10 10 var 6: 5000 5000 5000 5000 5100 5000 4900 sek : 6 1 9 5 8 6 1 durchgang 2 54 var 1: 10 10 -20 0 0 0 0 var 2: 0 0 0 50 40 20 20 var 3: 0 0 0 100 0 0 0 var 4: 180 162 146 181 203 203 203 var 5: 9 8 10 10 10 10 10 var 6: 5000 5000 5000 6000 6000 6000 6000 sek : 7 2 5 19 10 5 1 --------------------------------------------------------------------- Abb. 2-2. Muster eines Datensatzes (Erläuterungen dazu im Text). Wie aus Abb. 2-2 hervorgeht, werden die Variablen der Reihe nach durchnummeriert. Bei Var 1, 2 und 3 handelt es sich also um Gift, Schädlingsfresser und Dünger, bei Var 4, 5 und 6 um Käfer, Wasserverschmutzung und Blätterzahl (man ziehe hierzu Abb. 2-1 heran). Die Daten der ersten Spalte sind wie folgt zu lesen: ausgehend vom Grundzustand (Startwerte für die endogenen Variablen 4 bis 6: 200/0/5000 vgl. Abb.2-1) hat der Pb DUMMY im ersten Takt des ersten Durchgangs dreimal den Wert Null gewählt mit dem Resultat: 180/10/5000 (Gesamtzeit für diese Entscheidung: sechs Sekunden). Da der Pb bei diesem System pro Durchgang sechsmal eingreifen kann, ist die letzte Intervention 0/20/-10 mit dem Resultat 168/10/5000. Damit man (nur für zeitverzögerte Prozesse) noch weitere Effekte des letzten Eingriffs erkennen kann, wird ein zusätzlicher Zeittakt ausgegeben, der nicht mehr auf dem Monitor erscheint. 2.5 Veränderbarkeit, Verfügbarkeit Für spezielle Anwendungen lassen sich die voreingestellten Maximalwerte im Programmkopf leicht verändern. Die zu Beginn festgelegten Konstanten für die Maxima werden entsprechend dem Bedarf auf beliebige neue Werte gebracht, nach anschließender Compilierung steht das neue, erweiterte Programm dann zur Verfügung. Diese beliebige Modifizierbarkeit hat jedoch auch Grenzen, die vor allem durch die Monitor-Hardware gesteckt sind: wird etwa MAXNN auf Werte größer als 15 gesetzt, muß man prüfen, ob der Bildschirm noch eine entsprechende Zeilenzahl zur Präsentation bereithält. Der Wert von MAXMX sollte ebenfalls den jetzt festgesetzten Wert nicht übersteigen, solange das verwendete Terminal nicht mehr als 80 Spalten pro Zeile ansprechen kann. Die Prozedur INSTRUKTION kann bei Bedarf dahingehend erweitert werden, daß der Instruktionstext auf dem Bildschirm präsentiert wird. Hierzu sind einfache Schreibbefehle mit dem gewünschten Text einzufügen, wobei nach einer entsprechenden Zeilenzahl von der Prozedur WEITERMIT Gebrauch gemacht werden sollte. 3 Anwendungsbeispiele Die nachfolgend dargestellten Anwendungsbeispiele stammen aus durchgeführten bzw. geplanten Untersuchungen der Verfasser über Aufbau und Anwendung von Wissensstrukturen über dynamische Systeme. Die theoretischen Annahmen hierzu, die ausführlicher bei FUNKE (1986, Kap. 5) beschrieben sind, bilden den Rahmen experimenteller Arbeiten zum Umgang mit dynamischen Systemen. Im einzelnen werden das ÖKOSYSTEM, das AQUARIUM und das System POLITIK behandelt; neben einer kurzen Beschreibung der Systeme bzw. der Systemvarianten werden auch die genauen Steuerdaten für Replikationszwecke mitgeteilt. 3.1 Beispiel ÖKOSYSTEM Das ÖKOSYSTEM von FUNKE (1985b) stellt den ersten Versuch einer systematischen Konstruktion von Simulationssystemen dar, der sich ganz wesentlich von der bisherigen Vorgehensweise ("Welcher Realitätsbereich könnte spannend sein? - Basteln wir ein Simulationssystem!") abhebt. Zwar ist auch hier die Wahl des Realitätsbereichs beliebig, jedoch wird nunmehr innerhalb des festgelegten Rahmens eine Variation von vermuteten Einflußgrößen auf den Umgang mit dem System vorgenommen. Im Fall ÖKOSYSTEM ging es FUNKE (1985b) zudem um die Demonstration der Tatsache, daß die Anzahl beteiligter Variablen, die vielfach als Indikator für Komplexität angenommen wird, gegenüber der Vernetztheit zwischen den Variablen eine weit weniger wichtige Rolle spielt als angenommen. Aus diesem Grund bleibt bei allen Variationen des Systems die Anzahl der Variablen konstant. Die Vorgehensweise läßt sich damit eher als theoriegeleiteter Paradigmenentwurf bezeichnen, da zunächst Annahmen über vermutete Einflußgrößen auf den Prozeß der Identifikation von Kausalmodellen getroffen werden, woran sich dann die gezielte Konstruktion von Systemen mit bekannten Eigenschaften anschließt. Beim ÖKOSYSTEM geht es darum, mittels dreier Maßnahme-Variablen ("Gift", "Schädlingsfresser", "Dünger") auf drei Zustandsvariablen ("Käferzahl", "Blätterzahl", "Wasserverschmutzung") einzuwirken. Um den Prozeß des Wissenserwerbs und der Wissensanwendung deutlicher zu machen, wurden insgesamt fünf Durchgänge mit je sieben Takten realisiert. Die ersten vier Durchgänge dienten der (spielerischen) Exploration von Systembeziehungen, deren Kenntnis für die im fünften Durchgang vorgesehene multiple Zielerreichung nötig war. Vor jedem Durchgang erfolgte dabei eine Wissensdiagnostik, um den Aufbau bzw. die Veränderung des mentalen Modells bei einem Pb zu dokumentieren. Die experimentellen Bedingungen sahen zwei Faktoren vor: zum einen wurde bei konstant gehaltener Variablenzahl die Vernetztheit in drei Stufen variiert, zum zweiten existierte jede der drei Schwierigkeitsvarianten als AR1- und als AR2Prozeß. Die genauen Parameter enthalten Abb. 3-1a bzw. 3-1b. ---------------------------ÖKOSYSTEM 1985 (1.3) 3 3 1 6 7 5 0 (nx ny gr mx zt dg fb) 0 0 0 200 10 5000 Startwerte 0 0 0 0 0 0 Fehlerwerte 0 0 0 200 0 10000 Zielwerte 1 0 0 (Axx Grad 1) 0 1 0 0 0 1 0 1 0 (Ayx Grad 1) -0.1 0 1x -10xx 0 10 0.9 0 1xx (Ayy Grad 1) 0 1 0 -0.1x 0 1 -999999 -999999 -999999 -999999 -999999 -999999 min 999999 999999 999999 999999 999999 999999 max 0 0 0 0 0 0 add Gift ................. Schädlingsfresser .... Dünger ............... Käfer ................ Wasserverschmutzung .. Blätterzahl .......... ---------------------------------------------------- Abb. 3-1a. Steuerdatei für das ÖKOSYSTEM von FUNKE (1985b) für einen AR1-Prozeß. Die mit "x" markierten Parameter sind für den mittleren Vernetztheitsgrad hinzuzuziehen, die mit "xx" markierten Parameter zusätzlich für den hohen Vernetztheitsgrad, andernfalls sind sie auf Null zu setzen. Die in hier angegebenen Steuerdateien enthalten die komplette Information über die sechs von FUNKE (1985b) verwendeten Varianten: das jeweils einfachste System erhält man, wenn man die in Abb. 3-1a bzw. 3-1b mit x und xx markierten Parameter auf Null setzt. Für die mittlere Vernetztheit nimmt man dann die einfach gekennzeichneten Parameter hinzu, für die hohe Vernetztheit zusätzlich noch die mit "xx" markierten Parameter. Die Bezeichnungen "einfach", "mittel" und "hoch" vernetzt sind relative Angaben: Im Fall des AR1-Prozesses (Abb. 3-1a) sind insgesamt 18 Parameter in den Ayx- bzw. Ayy-Teilmatrizen zu besetzen. Die "einfache" Variante des Systems belegt hiervon gerade 6 mit Werten ungleich Null, die "hoch" vernetzte 10 von maximal 18. -----------------ÖKOSYSTEM 1985 (2.3) 3 3 2 6 7 5 0 (nx ny gr mx zt dg fb) 0 0 0 200 10 5000 Startwerte 0 0 0 0 0 0 Fehlerwerte 0 0 0 200 0 10000 Zielwerte 1 0 0 (Axx Grad 1) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (Ayx Grad 1) 0 0 1x -10xx 0 10 0.9 0 1xx (Ayy Grad 1) 0 1 0 -0.1x 0 1 0 0 0 (Axx Grad 2) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 (Ayx Grad 2) -0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 (Ayy Grad 2) 0 0 00 0 0 -999999 -999999 -999999 -999999 -999999 -999999 min 999999 999999 999999 999999 999999 999999 max 0 0 0 0 0 0 add Gift ................. Schädlingsfresser .... Dünger ............... Käfer ................ Wasserverschmutzung .. Blätterzahl .......... ----------------------------------------------------- Abb. 3-1b. Steuerdatei für das ÖKOSYSTEM von FUNKE (1985b) für einen AR2Prozeß. Die mit "x" markierten Parameter sind für den mittleren Vernetztheitsgrad hinzuzuziehen, die mit "xx" markierten Parameter zusätzlich für den hohen Vernetztheitsgrad, andernfalls sind sie auf Null zu setzen. 3.2 Beispiel AQUARIUM Ähnlich wie bei ÖKOSYSTEM handelt es sich bei AQUARIUM um ein vergleichsweise "einfaches" komplexes System: Vier exogene Variablen ("Futter", "Beleuchtung", "Sauerstoff" und "Wassertemperatur") können manipuliert werden, um dadurch vier endogene Variablen ("Guppies", "Skalare", "Schnecken" und "Algen") zu beeinflussen. Jeder exogenen Variablen ist genau eine endogene Variable zugeordnet. Die genaue Systembeschreibung kann man Abb. 3-2 entnehmen. --------------------------- AQUARIUM 1985 4 4 1 6 7 5 0 (nx ny gr mx zt dg) -30 -8 -12 -19 90 20 500 6000 Startwerte 0 0 0 0 0 0 0 0 Fehlerwerte 0 0 0 0 70 22 600 7000 Zielwerte 1 0 0 0 (Axx Grad 1) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -1.3 0 (Ayx Grad 1) -0.15 0 0 0 0 0 0 -13 0 50 0 0 1.1 -0.2 0 0 (Ayy Grad 1) 0.05 0.85 0 0 0 0 1.1 0.002 0 0 -0.05 0.95 0 0 0 10 6 1 6 4229 Minima 50 24 24 25 136 29 994 8560 Maxima 30 8 12 19 0 0 0 0 add.Konst Futter ............. Beleuchtungsdauer .. Sauerstoff ......... Wassertemperatur ... Guppies ............ Scalare ............ Schnecken .......... Algen .............. --------------------------------------------------------- Abb. 3-2. Steuerdatei für das AQUARIUM. Die Eigendynamik des Systems liegt in den Wachstums- bzw. Schrumpfungsprozessen der vier endogenen Variablen, wechselseitige Abhängigkeiten zwischen je zwei endogenen Variablen sorgen für weitere, nicht leicht zu identifizierende Systemeigenschaften. AQUARIUM wurde entwickelt, um die Wirkung der Präsentationsform eines dynamischen Systems zu untersuchen. Neben der Standard-Bedingung mit Zahlenausgabe der Systemvariablen auf den Monitor gab es eine Bedingung, in der der Verlauf der Systemdaten grafisch veranschaulicht wurde, vom Pb also keinerlei Umgang mit Zahlen, sondern lediglich mit Verhältnissen gefordert war. Ansonsten waren die beiden Varianten so konstruiert, daß den Pbn gleiche Informationen zur Verfügung standen. Beispielsweise waren die Minima und die Maxima bei der numerischen Variante angegeben. In der graphischen Variante gab die Begrenzung des Graphen die gleiche Information. Im Unterschied zu ÖKOSYSTEM liegen bei AQUARIUM drei wesentliche Änderungen der Systemsteuerung vor: (1) Es kann nicht mehr unbegrenzt in das System eingegriffen werden, sondern nur noch innerhalb eines vorgegebenen Wertebereichs. "Sauerstoffzufuhr" und "Beleuchtungsdauer" können z.B. nurmehr im Bereich 0-24 Stunden variieren, negative Eingaben sind nicht möglich. (2) Der "Nullpunkt" der exogenen Variablen ist um eine additive Konstante verschoben, d.h. Änderungen der Wirkrichtung einer exogenen Variablen treten nicht bei Vorzeichenwechsel auf, sondern bei Überschreiten der Stelle, die durch die additive Konstante markiert ist. Der Nullpunkt für "Beleuchtungsdauer" liegt z.B. bei 8 (vgl. Abb. 3-2, Zeile "add. Konstanten"). An dieser Stelle beträgt also die Wirkung dieser exogenen Variablen Null. (3) Zusätzlich wurde durch Verwendung von Absolutwerten erreicht, daß negative Zustandswerte (d.h. Werte unterhalb des um eine additive Konstante verschobenen Nullpunkts) so wie positive behandelt wurden. Dadurch spielte es letztlich keine Rolle, in welche Richtung ein Pb von dem als "Nullpunkt" deklarierten Wert abwich. Diese Veränderung setzt einen Eingriff in die Prozedur SIMULATION voraus; die entsprechende Zeile lautet: H(S,GR) := H(J,GR) + ABS( H(K,GR-G) * A(J,K,G) ) Lediglich der unterstrichene Teil unterscheidet diese Programmvariante vom üblichen Modell. Alle drei genannten Abänderungen finden Entsprechungen in realen Systemen. Einerseits kann in vielen Systemen eine Wirkdosis nicht unbegrenzt gesteigert werden. Zum zweiten treten Steigerungen bzw. Senkungen der Wirkung nicht nur bei Überschreiten des Nullpunkts auf, sondern der Dosis-Null-Punkt kann vielfach eher als Schwellenwert ungleich Null betrachtet werden, von dem ab erst eine Wirkung eintritt. Zum dritten ist es in realen Systemen möglich, daß eine Parameterwahl unterhalb des Nullpunkts zu den gleichen Effekten wie oberhalb des Nullpunkts führt. 3.3 Beispiel POLITIK In dieser ebenfalls noch nicht abgeschlossenen Untersuchung geht es um die Einflüsse politischer Einstellungen auf die Bearbeitung eines dynamischen Systems. Zu diesem Zweck sollen Personen mit dezidierten politischen Werthaltungen unterschiedlicher Provenienz mit einem System konfrontiert werden, das einmal den politischen Überzeugungen entsprechend reagiert, sich für einen anderen Teil der Stichprobe jedoch erwartungswidrig verhält. Bei den beeinflußbaren exogenen Variablen des Systems POLITIK handelt es sich um "Höchstgeschwindigkeit auf Autobahnen", "Höhe des Verteidigungshaushalts" und "durchschnittliche Wochenarbeitszeit". Damit kann auf die Variablen "Umweltverschmutzung", "Konjunktur", "Lebenserwartung" und "außenpolitische Sicherheit" Einfluß genommen werden. Hierfür stehen zwei strukturgleiche Varianten zur Verfügung, die sich lediglich an zwei Stellen im Vorzeichen der Parameter unterscheiden (siehe Abb. 3-3). Wie man aus der Steuerdatei ersehen kann, muß man im "schwarzen" Modell Verteidigungsausgaben und Wochenarbeitszeit erhöhen, um die Zustandsvariablen positiv zu beeinflussen (d.h. geringe Umweltverschmutzung, hohe Konjunktur, hohe Lebenserwartung und hohe Sicherheit zu erzielen). Im "grünen" Modell sind dagegen an den beiden genannten Eingriffsstellen umgekehrte Wirkungen zu beobachten. --------------------------POLITIK 3 4 1 6 7 5 0 (nx ny gr mx zt dg fb) 0 0 0 0 0 0 0 Start 0 0 0 0 0 0 0 Fehler 0 0 0 0 0 0 0 Ziel 1 0 0 (Axx Grad 1) 0 1 0 0 0 1 -0.13 0 0 (Ayx Grad 1) 0 0 -0.19x 0.219 0 0 0 -0.189x 0 1.1 0 0 0 (Ayy Grad 1) 0 0.95 0 0 0 0 0.89 0 0 0 0 0.95 -29 -85 -63 0 0 0 0 Min 71 15 37 100 100 100 100 Max 21 -35 -13 0 0 0 0 add.Konst. Höchstgeschwindigkeit..... Verteidigungsetat......... Wochenarbeitszeit......... Umweltverschmutzung....... Konjunktur................ Lebenserwartung........... Sicherheit................ --------------------------------------------- Abb. 3-3. Steuerdaten für das "schwarze" POLITIK-System. Das "grüne" Modell unterscheidet sich an der mit "x" markierten Stelle durch das Vorzeichen des Parameters. 4 Rekonstruktion anderer Systeme Nachdem im vorangegangenen Kapitel beispielhaft dynamische Systeme vorgestellt wurden, die vor dem Hintergrund der Modellbildung in Form multivariater ARk-Prozesse konstruiert wurden, soll sich der folgende Abschnitt mit der Rekonstruktion solcher Systeme beschäftigen, die ursprünglich in anderer Form erstellt wurden. Hierzu gehören die Systeme MONDLANDUNG, HAMURABI, TRANSPORT und PETER-PRINZIP. Da es sich bei dem zuletzt genannten System um eines handelt, das als Markoff-Prozeß beschrieben wird, behandelt ein Exkurs die Darstellbarkeit derartiger Prozesse durch den hier vorgeschlagenen Ansatz. 4.1 MONDLANDUNG Das System MONDLANDUNG wurde von FUNKE (1981) als eine Alternative zu wesentlich umfangreicheren und unüberschaubareren Systemen vorgeschlagen. Dies geschah zugleich mit dem Hinweis darauf, daß ein derartiges System für experimentelle Absichten wegen seiner leichten Modifizierbarkeit gut geeignet sei. Darüberhinaus - und dies war seinerzeit das Hauptargument für die Verwendung der MONDLANDUNG - standen objektive Kriterien für die Bestimmung der Lösungsgüte zur Verfügung, deren Begründbarkeit bei den damals verwendeten Paradigmen wie TANALAND (DÖRNER & REITHER 1978) und LOHHAUSEN (DÖRNER 1979) weniger einfach möglich war. Aufgabe der Pbn bei der MONDLANDUNG ist es, durch eine geeignete Sequenz von Bremsmanövern Höhe und Geschwindigkeit einer auf die Mondoberfläche zusteuernden Raumkapsel so zu beeinflussen, daß eine weiche Landung möglich ist (was mit der Sequenz 1323 auch - fast - gelingt). Die Steuerdatei, mit der eine der ersten Versionen der MONDLANDUNG von FUNKE (1981) simuliert werden kann, zeigt Abb. 4-1. Um dem seinerzeit realisierten System gerecht zu werden, muß allerdings zu jedem Zeittakt genau eine der drei "Bremsen" betätigt werden (betätigen heißt hier: die entsprechende exogene Variable erhält den Wert Eins). Da vom Programm keine derartige Restriktion berücksichtigt wird, hat in diesem Fall der Vl deren Einhaltung zu kontrollieren. Unter diesen Bedingungen werden die von FUNKE (1981, p.8) mitgeteilten Trajektorien exakt reproduziert. ------------------------------- MONDLANDUNG (FUNKE 1981) 3 3 1 6 10 2 0 (nx ny gr mx zt dg fb) 0 0 0 80 240 100 Start 0 0 0 0 0 0 Fehler 0 0 0 0 0 0 Ziel 0 0 0 (Axx Grad 1) 0 0 00 0 0 2 -5 -40 (Ayx Grad 1) 0 0 0 -1 -4 - 7 1 0 0 (Ayy Grad 1) -1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Min 1 1 1 1 1 1 Max 0 0 0 0 0 0 add.Konst. Bremse 1 ... Bremse 2 ... Bremse 3 ... Tempo ..... Höhe ....... Treibstoff . --------------------------------------- Abb. 4-1. Steuerdatei für die MONDLANDUNG von FUNKE (1981). 4.2 HAMURABI, Herrscher von Summaria Das System HAMURABI von GEDIGA, SCHÖTTKE & TÜCKE (1982) verlangt vom Pb durch Einflußnahmen auf "Nahrungsmenge pro Einwohner", "Kauf/Verkauf von Ackerland" und "Umfang des bebauten Ackerlandes" eine Steuerung der fünf endogenen Variablen "Kornspeicher", "Population", "Ackerland", "Ernte" und "Saatgut". Die Steuerdatei dieses Systems zeigt Abb. 4-2. ----------------------------HAMURABI, Herrscher von Summaria 3 5 1 6 10 2 0 (nx ny gr mx zt dg fb) 0 0 0 2800 100 1000 0 0 Start 0 0 0 0 0 0 0 0 Fehler 0 0 0 5000 200 2000 0 0 Ziel 0 0 0 (Axx Grad 1) 0 0 0 0 0 0 -1 -20 0 (Ayx Grad 1) 0.5 0 0 0 1 0 0 0 2.49 0 0 0.49 1 0 0 1 -1 (Ayy Grad 1) 0 1.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999 Min 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 Max 0 0 0 0 0 0 0 0 Add.Konst. Nahrung pro EW .... Veränd. Ackerland .. bebautes Ackerland . Kornspeicher ....... Population ......... Ackerland .......... Ernte .............. Saatgut ............ ------------------------------------------------------ Abb. 4-2. Steuerdatei für das System HAMURABI von GEDIGA, SCHÖTTKE & TÜCKE (1982). Hierbei wurden von mir einige Vereinfachungen vorgenommen, insofern als zufallsbedingte Größen (Preis pro Ackerfläche, Ernte pro Ackerfläche, Saat pro Ackerfläche und ein aus der Reaktionszeit des Pbn abgeleiteter Rattenfraß im Kornspeicher) in der hier vorgelegten Fassung ausgespart wurden. Bestimmte Randedingungen wie die Forderung, daß pro Einwohner/Takt(=Jahr) 20 Korneinheiten zur Verfügung stehen mußten, konnten in DYNAMIS programmiertechnisch genausowenig realisiert werden wie etwa eine Überprüfung daraufhin, ob die als zu bebauend gewünschte Ackerfläche auch tatsächlich zur Verfügung steht (dafür müßte man die exogene Variable "bebautes Ackerland" als prozentuale Variable in bezug auf das zur Verfügung stehende Ackerland ausdrücken und nicht in absoluten Einheiten fassen; hier ist die vorgeschlagene Umsetzung in einen AR1-Prozeß sicher noch verbesserungsbedürftig). 4.3 TRANSPORT In einer kaum beachteten Arbeit -den Hinweis verdanke ich KLUWE (1986)- hat BROADBENT (1977) experimentelle Studien zum Umgang von Pbn mit einem Transport-System beschrieben, bei dem Verkehrsprobleme einer Kleinstadt dynamisch simuliert wurden. Mit den zwei exogenen Variablen "Zeitintervall für Busse" und "Höhe der Parkgebühren" (auf öffentlichen Abstellplätzen) konnte man den Grad der Busauslastung und die Anzahl freier Parkplätze beeinflussen. Erfreulicherweise hat der Autor die beiden verwendeten Strukturgleichungen publiziert, so daß die Rekonstruktion der Parametermatrizen keine Probleme bereitet (vgl. hierzu Abb. 4-3). ---------------------------------------TRANSPORT-SYSTEM (Broadbent 1977) 2 2 1 6 6 3 0 (nx ny gr mx zt dg fb) 0 0 3800 120 Start 0 0 0 0 Fehler 0 0 5800 200 Ziel 1 0 (Axx Grad 1) 0 1 220 80 (Ayx Grad 1) -2 4.5 0 0 (Ayy Grad 1) 0 0 0 0 0 0 min 10 10 9999 9999 max 0 0 0 0 add Konst Zeitintervall Parkgebühren ... Busauslastung .. freie Plätze ... --------------------------------------- Abb. 4-3. Steuerdatei für das TRANSPORT-System von BROADBENT (1977). 4.4 Das Peter-Prinzip In seiner Dissertation verweist OPWIS (1985, p.42-46 und p.59-62) als Beispiel für ein zeitdiskretes System auf das sog. "Peter-Prinzip", wonach in einem hierarchisch organisierten System jedes Mitglied solange aufsteigt, bis es seine Stufe der Unfähigkeit erreicht hat. Diese Überlegungen seien an einem einfachen Beispiel veranschaulicht. Nehmen wir an, es gebe drei Hierarchie-Stufen L1, L2 und L3, wobei L3 das höchste Level repräsentiert. Weiterhin gebe es auf jeder Stufe zwei Gruppen von Personen: "fähige" und "unfähige". Um den Markoff-Prozeß zu beschreiben, der den Wechsel der Personen zwischen den verschiedenen Stufen des Systems darstellen möge, benötigt man zwei Transitionsmatrizen, in denen Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den verschiedenen Zuständen angegeben sind: die erste Matrix (R) beschreibt die Veränderungsmöglichkeiten innerhalb einer Hierarchiestufe (also den Wechsel von "fähig" zu "unfähig" und umgekehrt), die zweite Matrix (P) beschreibt die Veränderungsmöglichkeiten für den Wechsel von Hierarchiestufen (also den Auf- oder Abstieg von einer in eine andere Hierarchiestufe). Die Matrizen R und P, die von OPWIS (1985, p.60) verwendet wurden, findet der Leser in Tab. 4-1 (a) und (b). Tab. 4-1. Übergangswahrscheinlichkeiten für einen Zustandswechsel nach dem Peter-Prinzip (a) für einen Wechsel innerhalb einer Hierarchiestufe, (b) für einen Wechsel von Rang i zu Rang i+1 (Parametermatrizen R und P nach OPWIS 1985, p.60) ......................------------------------------------- ............................................Rang i, Zeitpunkt t ...................... Rang i, -------------------- ....(a)...........Zeitpunkt t+1 fähig unfähig ......................------------------------------------- ......................fähig .60 .10 ......................unfähig 0 .70 ......................------------------------------------- .......................------------------------------------- .......................................................Rang i, Zeitpunkt t ...................... Rang i+1, ------------------- ....(b)............Zeitpunkt t+1 fähig unfähig ......................------------------------------------- ......................fähig .20 0 ......................unfähig .10 .10 ......................------------------------------------- Die Interpretation dieser Matrizen erfolgt durch Ablesen der Zeilen- und Spaltentexte in Tabelle 4-1 (a) und (b). So beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, zum Zeitpunkt t in Rang i "fähig" gewesen zu sein und zum Zeitpunkt t+1 die gleichen Merkmale zu besitzen, 0.60; andererseits gibt es z.B. keinen Übergang vom Zustand "unfähig in Rang i zum Zeitpunkt t" zum Zustand "fähig in Rang i+1 zum Zeitpunkt t+1" (die entsprechende Wahrscheinlichkeit in Tabelle 4-1 (b) beträgt null). Exkurs: Darstellbarkeit zeitdiskreter Markoff-Prozesse durch AR-Prozesse Das Anliegen dieses Exkurses ist, die Darstellbarkeit zeitdiskreter MarkoffProzesse durch AR-Prozesse zu demonstrieren. Zu diesem Zweck erfolgt zunächst eine knappe Beschreibung zeitdiskreter Markoff-Prozesse. "Während bei den quantitativen Variablen die Variablenwerte zu verschiedenen Zeitpunkten (oder daraus abgeleitete andere Maße wie Differenzen oder Verhältnisse) als Operationalisierung von Veränderung gelten, betrachtet man bei qualitativen Variablen analog dazu Veränderungen in den Wahrscheinlichkeiten, sich in bestimmten Zuständen zu befinden (...). Die dabei verwendeten Modelle sind meistens die zeitdiskreten Markoff-Ketten, die in die Klasse der Differenzengleichungssysteme einzuordnen sind." (MÖBUS & NAGL 1983, p.395). Die genannten Autoren weisen darauf hin, daß in den bedingten Wahrscheinlichkeiten, die den Übergang von einem Zustand in einen anderen Zustand charakterisieren, bereits alle Informationen enthalten seien, "die die Veränderung zwischen zwei Zeitpunkten charakterisieren" (p.397, fett). Neben diesen Informationen in Form bedingter Wahrscheinlichkeiten ist die Markoff-Annahme erster Ordnung wichtig, wonach die bedingten Wahrscheinlichkeiten eines Wechsels von Zustand X1 zum Zeitpunkt t zu Zustand X2 zum Zeitpunkt t+1 gleich denjenigen eines Wechsels von Zustand X1 zu Zustand X2 zum Zeitpunkt t+k bzw. t+k+1 sind. Einfach ausgedrückt: die bedingten Wahrscheinlichkeiten gelten zu jedem Zeitpunkt in gleicher Weise, bei der Prognose von Zeitpunkt k genügt der Rückgriff auf den Systemzustand zum Zeitpunkt k-1. Formal: W ( Yt = it / Yt-2 = it-2, Yt-1 = it-1 ) = W ( Yt = it / Yt-1 = it-1 ) wobei W ( Yt = it ) die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, mit der sich die Variable Y zum Zeitpunkt t in Zustand i befindet, und W ( Yt = it / Yt-1 = it-1 ) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich Variable Y zum Zeitpunkt t in Zustand i befindet, gegeben zum Zeitpunkt t befand sie sich in Zustand i. Selbstverständlich lassen sich diese Überlegungen - so MÖBUS & NAGL - auch für Prozesse k-ter Ordnung anstellen, bei denen die Wahrscheinlichkeit, sich zum Zeitpunkt t in einem bestimmten Zustand it zu befinden, von den vergangenen k Zuständen abhängt. Als homogen bzw. stationär wird bei MÖBUS & NAGL ein Markoff-Prozess bezeichnet, dessen bedingte Wahrscheinlichkeiten über die Zeit hinweg gleich bleiben. WICKENS (1982, p.15) nennt als die zentrale Eigenschaft eines MarkoffProzesses ("the Markov property") die Restriktion, wonach die Zukunft eines Prozesses unabhängig von allen vorangegangenen Zuständen und ausschließlich abhängig vom gegenwärtig eingenommenen Zustand sei. WICKENS weist darauf hin, daß diese auf den ersten Blick zu restriktive Modellannahme, wonach ausschließlich der gegenwärtige Zustand eines Organismus dessen nächste Reaktion bedingt, durchaus in Übereinstimmung mit dem deterministischen Konzept steht, das den meisten psychologischen Theorien zugrundeliege. Und in der Tat: "If it were possible to know the subject completely at a moment of time, that information would be sufficient to predict the subject's future behavior. If one is unable to make such a prediction, the fault lies in having inadequate information about the current state or in having an inadequate representation of that state, rather than in needing to refer to the past." (WICKENS 1982, p.15f) Betrachtet man diese Aussagen von WICKENS und vergleicht sie mit denen von MÖBUS & NAGL (1983), so fällt auf, daß die letztgenannten Autoren MarkoffAnnahmen unterschiedlicher Ordnung unterscheiden, während WICKENS die Markoff-Eigenschaft auf Prozesse erster Ordnung beschränkt. Inwiefern Markoff-Annahmen höherer Ordnung also tatsächlich die "Markov-property" im strengen Sinne realisieren, sei dahingestellt. Um nun zu zeigen, daß die Markoff-Annahme erster Ordnung sich in Form eines autoregressiven Prozesses erster Ordnung darstellen läßt, sei folgendes einfaches "Alles-oder-Nichts"-Modell zum Paar-Assoziations-Lernen betrachtet (die Darstellung folgt derjenigen von WICKENS 1982, p.24f). Das Lernen einer einzelnen Zuordnung (z.B. Zuordnung einer nonsense-Silbe zu einer Zahl) läßt sich mit einem System beschreiben, das vier Annahmen macht: (1) Der zu beschreibende Lernprozess kennt zwei Zustände R ("geraten") und L ("gelernt"). (2) Die Ausgangswahrscheinlichkeiten für ein Item (d.h. die Wahrscheinlichkeit, sich zum Zeitpunkt 1 in Zustand R bzw. L zu befinden) lauten: pR(1)=1 und pL(1)=0. (3) Die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen lassen sich durch folgende Transitionsmatrix bezeichnen: ----------------------------- Zustand zu t+1 Zustand zum -------------- Zeitpunkt t L R ----------------------------- L 1 0 R a 1-a ----------------------------- Hierbei ist a der unbekannte Parameter des Modells (die "Lernrate"). Wie man sieht, kann ein einmal gelerntes Item nicht mehr vergessen werden, da pR(t+1)/L(t)=0. Der Zustand L ist also absorbierend, während Zustand R transient ist. (4) Bezüglich der Antworten eines Pbn werden die zwei Zustände K ("korrekt") und F ("falsch") unterschieden. Folgende Zuordnung von Zuständen des Systems zu den Antwort-Zuständen wird zugrundegelegt ("response mapping"): ..............................---------------------------- .............................. Antwort Zustand .............................. ----------------- .............................. K F ..............................---------------------------- .............................. L 1 0 .............................. R g 1-g .............................. ---------------------------- Hierbei ist g die Ratewahrscheinlichkeit dafür, per Zufall eine korrekte Antwort zu geben. Diese hängt von den Versuchsbedingungen ab und braucht - anders als der eben eingeführte Parameter - nicht aus den Daten geschätzt werden. Wie man sieht, unterstellt dieses Modell beim Zustand "gelernt" fehlerlose Antworten. Wie läßt sich nun das dynamische Verhalten (also die Transitionsmatrix) des eben dargelegten "Alles-oder-Nichts"-Modells in Form von Strukturgleichungen darstellen? Indem man die Wahrscheinlichkeiten wie folgt umstellt: pL(t+1) = 1*pL(t) + a *pR(t) pR(t+1) = 0*pL(t) +(1-a)*pR(t) Gesetzt den Fall wir haben zehn Items, die zu Beginn (t0) alle "ungelernt" sind, d.h. PL(t0)=0, und der Parameter für die Lernrate betrage a=0.1, dann ergibt sich: pL(t1) = 1*0 + 0.1* 1 = 0.10, pL(t2) = 1*0.1 + 0.1*0.9 = 0.19, usw. Multipliziert man diese Wahrscheinlichkeiten mit der Ausgangsfrequenz, erhält man die nach einer bestimmten Zahl von Zyklen zu erwartende Anzahl "gelernter" Items. Auf der Ebene von Erwartungswerten kann man somit die Übereinstimmung der beiden unterschiedlichen Ansätze feststellen. Da für ein Markoff-Modell jedoch spezielle Fehlerannahmen zu treffen sind, kann ein deterministischer AR1-Prozeß hier nicht weiterführen, sondern muß um einen entsprechenden Fehlervektor ergänzt werden. In dem Moment läßt sich u.E. davon sprechen, daß Markoff-Prozesse als Spezialfall eines AR1Prozesses anzusehen sind, nämlich solcher, deren Gewichte für jede beteiligte Variable auf den Wert Eins normiert sind, also: y1(t+1) = b11y1(t) + b12y2(t), y2(t+1) = b21y1(t) + b22y2(t), wobei (b11 + b21) = 1 und (b12 + b22) = 1. Dies läßt sich für den allgemeinen Fall mit ny endogenen Variablen ebenfalls zeigen. (Ende des Exkurses) Zurück zum Peter-Prinzip und dessen dynamischer Simulation. Abb.4-4 zeigt die Steuerdatei einer einfachen Implementation des eingangs geschilderten Systems. Gegenüber der verbalen Schilderung weicht diese Implementation an zwei Stellen von der Präsentation bei OPWIS ab: zum einen wird der Status "Drop-Out" in diesem System explizit dargelegt (damit handelt es sich -sofern an den Input-Variablen keine Änderungen vorgenommen werden- um ein geschlossenes System), zum anderen gibt es eine leichte Abweichung bei der R-Matrix für die höchste Hierarchiestufe L3: um hier der Normierungsvorschrift gerecht zu werden, wurden die beiden Matrizen R und P an dieser Stelle zu einer Matrix zusammengefaßt (durch Addition). Was bei der Simulation dieses Systems amüsant ist: Werden unter den Neu- Eingestellten mehr fähige als unfähige Personen eingestellt (und darum dürfte sich jeder Personalchef bemühen), nimmt - wie Peter es vorhersagt - der prozentuale Anteil unfähiger Personen von L1 über L2 zu L3 zu. Den umgekehrten Effekt (in der höchsten Hierarchiestufe der geringste Anteil unfähiger Personen, in der untersten der höchste Anteil) erzielt man genau dann, wenn man nur unfähige Personen einstellt! Darüber sollte man (nicht nur als Personalchef) nachdenken ... ------------------------------------------------- PETER-PRINZIP (Opwis 1985, p. 60) 2 7 1 7 51 1 0 (nx ny gr mx zt dg fb) 100 1 0 0 0 0 0 0 0 start 0 0 0 0 0 0 0 0 0 fehler 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ziel 1 0 (Axx Grad 1) 0 1 1 0 (Ayx Grad 1) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6 0.1 0 0 0 0 0 (Ayy Grad 1) 0 0.7 0 0 0 0 0 0.2 0 0.6 0.1 0 0 0 0.1 0.1 0 0.7 0 0 0 0 0 0.2 0 0.8 0.1 0 0 0 0.1 0.1 0.1 0.8 0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999 min 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 max 0 0 0 0 0 0 0 0 0 add Konst fähig neu ..... unfähig neu ... fähig L1 ...... unfähig L1 .... fähig L2 ...... unfähig L2 .... fähig L3 ...... unfähig L3 .... Drop-Outs ..... ---------------------------------------------------------------- Abb. 4-4. Steuerdatei zur Simulation des Peter-Prinzips gemäß den von OPWIS (1985, p.60) gemachten Angaben. Zur DYNAMIS Software
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